Orthogonalization

어떤 벡터 공간 V을 span하면서 서로 직교하는 벡터들을 찾는 것을 orthogonalization이라고 한다.

m-by-n 행렬 A가 orthogonalization을 거쳐 열벡터가 서로 직교하게 되면, 다음과 같은 이유로 유용하다.

1. 행렬의 형태를 단순화함으로써, 각종 연산이 손쉬워 진다.
   • A의 열벡터가 orthogonal하다면, A^TA = diagonal matrix
   • A의 열벡터가 orthonormal하다면, A^TA=I
   • A의 열벡터가 orthonormal하면서 m=n이면, A^T = A^-1
2. 특별한 기능을 수행하는 행렬을 만들어 낼 수 있다.
   • projection, rotation, reflection 모두 orthogonal matrix이다.
     • Orthogonal matrix Q란?
       • orthonormal 벡터로 구성된 정사각 행렬
       • Q^T = Q^-1
       • Q는 1)입력 벡터의 길이를 유지하고 2) 입력 벡터들 간의 각도를 유지시킨다.
         
3. Orthogonal matrix는 입력 벡터의 길이를 유지하므로, 컴퓨터 연산 과정에서 발생하는 반올림 문제(round off error)를 없앤다.

Yeonjung Hong