m-by-n 행렬 A에 대한 A^-1, A^T, A⁺ 정리

• A
  • A의 row space에 있는 벡터를 column space에 있는 벡터로 transform하는 함수
• A^-1
  • A의 column space에 있는 벡터를 row space에 있는 벡터로 transform하는 함수.
    • A가 full rank이고 정사각 행렬일 때(rank=m=n), A^-1 존재함.
    • A^-1가 존재한다.
      = A는 nonsingular다.
      = A의 nullspace에는 0벡터 뿐이다.
• A^T
  • A의 column space에서 row space로 공간은 이동시켜주지만 개별 벡터간 일대일 역매핑은 못한다.
  • A가 남자 1호,2호,3호를 각각 여자 1호,2호,3호와 매칭시키는 함수라고 해보자. A^-1는 A가 그은 사랑의 작대기를 유지시킨채 여자 셋을 남자 셋에게 매칭시켜준다면, A^T는 여자 셋을 남자 셋과 매칭시켜주긴 하지만 기존의 작대기를 유지한다는 보장이 없다.
• A⁺
  • A^-1가 존재하지 않으면 pseudoinverse A⁺를 사용한다.
  • A⁺는 column space의 벡터들 중 row space에 대응 벡터가 있는 경우에 한하여 inversion을 수행한다.
    • A⁺Ax=x는 row space에 있는 x에 대해 성립한다.
    • A⁺Ax=x는 nullspace에 있는 x에 대해 성립하지 않는다.
    • 0으로부터 nullspace의 모든 벡터를 복구하기는 불가능하기 때문이다.

Yeonjung Hong