Basis

• N차원 벡터 공간 V의 basis란, linearly independent하면서 V를 온전히 span하는 벡터 집합
  
  
• [가정: V = 3차원 벡터공간, H = V의 2차원 subspace]
  
  
• Basis는 maximal independent set이다.
  • V 안에 있는 벡터 v1, v2, v3가 linearly independent 하다는 것의 의미
    • c1*v1 + c2*v2 + c3*v3 = 0의 유일한 해가 c1=c2=c3=0.
      => v1, v2, v3를 아무리 늘리고 더해도 여전히 3차원 공간을 못 벗어남.
      (원점은 모든 N차원 공간에 포함되기 때문)
  • linearly independent한 v1, v2, v3 세 벡터가 span하면 V를 꽉 채움.
    • linearly independent한 v1와 v2가 span하는 공간은 H.
  • 따라서 v1,v2,v3은 maximal independent set으로서 V의 basis.
    • 벡터 공간 V의 차원수 = V의 basis 벡터의 개수
      
      
• Basis는 minimal spanning set이다.
  • V를 span하는 벡터 집합은 basis뿐 아니라 무한히 존재한다.
    • 예를 들어, 4개 이상의 벡터는 basis는 아니지만 V를 온전히 span할 수 있다.
  • N차원 공간을 span할 수 있는 벡터의 최소 개수는 N개.
  • 따라서 v1, v2, v3은 minimal spanning set으로서 V의 basis.
    
    
• 하나의 벡터 공간은 무한수의 bases를 가질 수 있다.
  
  
• 예시
  • {[1;0;0], [0;1;0]}은 V의 부분집합인 H의 basis.
  • {[1;0;0], [0;1;0]}은 H의 유일한 basis가 아님.
  • {[1;0;0], [0;1;0], [2;0;0]}은 H의 basis가 아님. (minimal spanning set가 아니기 때문)
  • {[1;0;0], [0;1;0]}은 V의 basis는 아님. (maximal independent set가 아니기 때문)
  • {[1;0;0], [0;1;0], [0;0;1]}은 V의 basis.

Yeonjung Hong