Matrix Multiplication

벡터 공간 V의 무한한 bases는 1)같은 원점을 공유하지만 2)unit을 다르게 정의한다.
대표적 basis는 서로 직교하면서 길이가 1인 벡터로 구성된 orthonormal basis이다. (catesian 좌표계를 떠올려라.)

동일 벡터 공간 V의 basis마다 unit의 정의가 다르기 때문에, 하나의 벡터를 basis마다 다르게 표현한다.
예를 들어, x,y축을 갖는 2차원 공간의 basis A={[1;0],[0;1]}는 벡터 v를 [5;1]로 표현하지만,
basis B={[2;1],[1;2]}는 벡터 v를 [3;-1]로 표현한다.

이렇듯 어떤 벡터를 basis A에서 basis B로 바꾸어 표현하려면 change of basis matrix P_B←A를 곱하면 된다.
사실상 모든 행렬은 basis를 바꾸는 기능을 하는 함수인데,
그 결과 rotation, projection 등 유용한 기능을 수행하면 특별 취급받는 것이다.

• A^-1BAx의 의미
  A가 change of basis matrix, B는 모종의 transformation을 일으키는 matrix라고 보면 된다.
  1) Ax: x를 A의 basis 좌표계로 표현.
  2) BAx: [x]_A에 원하는 transformation 수행.
  3) A^-1BAx: transformation 이후의 결과를 기존 basis 상태로 돌려 둠.
  
  역행렬 A^-1의 역할이란 3)에서 밝혔듯 바뀌어진 basis를 되돌려 놓는 것이다.

Yeonjung Hong