Linear Subspace

• N차원 벡터 공간 V
  • linearly independent 한 N차원 벡터 N개의 linear combinations(=덧셈 + 상수배).
    
    
• V의 linear subspace
  • N차원 벡터공간의 원소 벡터 M개의 linear combinations.
  • N차원 이하의 공간을 나타내는 V의 부분집합.
  • V가 3차원 벡터 공간일 때, V의 subspace가 될 수 있는 것은 아래와 같다.
    • V
    • 원점([0;0;0])을 지나는 어떠한 평면
      • 예시: Span{[1;0;0], [0;1;0]}
    • 원점([0;0;0])을 지나는 어떠한 선분
      • 예시: Span{[1;0;0]}
    • 원점([0;0;0])
  • Q: [1;1]는 3차원 벡터 공간에서 평면을 이루는 subspace의 원소일 수 있을까?
    • 아니다. 2차원 공간 내에 있긴 하지만 형태상으로는 3차원이어야 한다. 따라서 예를 들어 [1;1;0]은 가능하다.
      
      
• Why linear?
  • linear transformation, linear subspace, linear combination… 모든 말 앞에 linear가 붙는다.
  • 공간의 linearity는 그 공간을 구성하는 벡터들의 linearity에 의해 결정된다.
  • linear vector의 집합은 linear subspace 이고, nonlinear vector의 집합은 nonlinear subspace이다.
  • nonlinear한 것의 대표적인 것은 곡선이나 곡면이다.
  • linearity를 유지시키는 조건
    • 벡터 공간 안에서 덧셈과 상수배만 가능하다. (곱셈을 하는 순간 휘어진다.)
      이 덕분에,
      • 어느 공간에서나 단위벡터를 기준으로 눈금을 그렸을 때,
        동일한 원점을 공유하고
        눈금선의 간격이 일정하고
        눈금선들이 서로 평행을 이룬다.

Yeonjung Hong