Column Space, Nullspace, Invertibility

m-by-n 행렬 A과 m차원 벡터 b가 있다.
여기에 n차원 미지수 벡터 x를 도입하면 Ax=b라는 방정식을 세울 수 있다.
Ax=b는 다음과 같이 읽을 수 있다.
“A는 x를 A의 column space에 있는 b로 transform한다.”
여기서 A의 column space란, A의 열벡터가 span하는 subspace이다.
b는 A의 열벡터에 x의 원소를 각각 곱하여 더한 것으로서 열벡터의 linear combination이므로, A의 column space 안에 존재한다.

함수로서의 A를 깊이 이해하기 위해서는 함수의 기본 성질을 이해해야 한다.
함수는 하나 이상의 입력에 대하여 하나의 출력만 내놓는다. 즉 일대일 매핑, 다대일 매핑은 가능하지만 일대다 매핑은 불가능하다.
역함수란 출력에서 입력으로의 역매핑을 하는데, 원래 함수가 다대일 매핑이면 역으로는 일대다 매핑이므로 역함수 성립이 불가능하다.
따라서 일대일 매핑인 함수만 역함수를 갖는다.

행렬 A 또한 일대일 매핑을 할 때만 역행렬을 갖는다.
A가 일대일 매핑을 한다는 뜻은, Ax=b에서 A가 어떤 두 입력 벡터 x도 A의 column space에 있는 동일한 벡터 b로 transform하지 않는다는 것이다.

반면, A가 0벡터 뿐 아니라 0이 아닌 입력 벡터 x를 column space에 있는 0벡터로 transform한다면, A는 다대일 매핑을 하고 있으므로 역행렬이 존재하지 않는다.
다른 말로 표현하면, Ax=0에 0이 아닌 해가 존재할 때 A는 역행렬이 없다.
이 때 Ax=0을 만족시키는 x는 A의 nullspace를 구성한다.

정리

m-by-n 행렬 A에 대하여,

• The column space of A
  • A의 열벡터가 span하는 공간이다.
  • column space = range
• The nullspace of A
  • Ax=0를 만족하는 모든 n차원 벡터 x의 집합이다. (이 때 우항의 0은 상수가 아니라 m차원 0벡터)

방정식 Ax=b에 대하여,

• 행렬 A는 벡터 x를 linear combination을 통해 A의 column space에 있는 벡터 b로 transform한다.

• A의 역행렬이 존재한다.
  = A가 일대일 매핑을 한다.
  = Ax=b의 모든 m차원 벡터 b에 대하여 유일한 해 x가 존재한다.

• A의 역행렬이 존재하지 않는다.
  = Ax=0의 해가 0벡터 말고도 존재한다.
  = A가 다대일 매핑을 한다.
  = A의 nullspace에 0벡터가 아닌 다른 벡터도 존재한다.

Yeonjung Hong